數學，並不是建築在某種「基礎」上的城堡，而各種各樣的「理論」就好像一座座高塔，還有秘密的暗道讓人去發現。數學世界其實比較像一塊大陸，充滿了等待人去探索的事物。「理論」與「基礎」正如同公車與飛機，它雖然很有用，但是你卻必須經常更換。最要緊的是你別忘了，無論如何公路與飛機絕不是整個世界。

有時候學了一樣「數學」，因為不知它有何用，也沒法和現實生活扯上關係，因而學習時心理上第一步就打了折扣，認為這些數學根本是「學數學」的人所討論的，我們學它做什麼？譬如學習部分分式時，因為無法了解它的實際用處，所以猜想大概是數學家無聊，算來玩玩的。直到接觸到微積分，才知道部分分式原來可以靈活用在微積分的求解上；又如「極限」，想來也沒什麼用，一但遇到物理上求不規則物體之面積、體積時，才知用處可大了；「向量學」起來也挺乏味的，但是碰到速度和加速度時，就格外有意思；另外如「無窮集合」的觀念，也是令人難以捉摸，可是談到「無線集合的一些特殊性質」的時候，卻能迅速的引起人的興趣。純數學在數學家看來確是生動而有趣的，然而，由於一般人在理解上容易產生挫敗感，因此容易「討厭數學」、「害怕數學」，甚至最後就「放棄數學」。

從具體到抽象是數學發展的一條重要大道，因此具體的例子往往是抽象概念的源泉，而所用的方法也往往是高深數學裡所用之方法的依據。僅僅熟讀抽象的定義和方法，而不知道他們具體來源的數學工作者是沒有發展前途的，這樣的人要搞深刻研究是可能遇到無法克服之難關的。數學史上也屢見不鮮地刊載著實際的問題所引申的方法促進了數學發展的事實。例如力學、物理學都起過這樣的作用。從數學本身來說，它研究的最基本對象是「數」與「形」，因此，「幾何圖形」所引出的幾何直覺，和由「數」而引出的具體關係和概念，往往是數學中極豐富的源泉。

半世紀以來，最重要、最有意義的成果都需要藉用新的觀念，但是新觀念最不容易掌握。當我們剛接觸新觀念時，它們看起來好像又古怪又不可理解，而且相當不符合習慣的思考方式，使我們完全弄不清到底在說什麼。我們只好耐心的反覆研讀，慢慢的那些缺乏實質的模糊輪廓有了具體型態，而且不斷接觸的結果，古怪感也消失。我們開始了解了新觀念的意義和力量，也開始體會出它們使論證大量簡化的作用。

把解題看作單純的智力工作是錯誤的，決心和感情也是重要的角色。用微溫的決心和欲睡的意識去做，對課堂上的常規問題也許是足夠的了；可是要解一個嚴格的科學問題，則意志力便是必要的，只要它才經得起長久的辛勞和不斷的失望。

如果目的是要將一個論證交給學生，那麼歐幾里德的表現法是不能毫無保留地被推薦的。歐氏表現法在某些個別地方或許有獨到之處，但常常無法特意指出論證的要點。聰明的讀者不難看出每一步驟都是對的。但很難知道整個論證的來源、目的和前後關係。這原因是由於歐氏表現法總是依照發明的自然程序相反之次序進行的。

我們小時候大概都在紙上或在遊樂場中玩過「走迷宮」的遊戲，我們從起點走到終點，往往要嘗試許多錯誤並浪費許多時間，有時候還不一定走得到終點。如果我們從終點走回起點，便顯得較簡單又迅速，更重要的是清楚找出從起點到終點的正確路線。這兩種走法的差異在於前者中，我們只是不斷的摸索，看不清目標，只能從嘗試錯誤中不斷地改正而尋得正確的路線，至於後者的目的（目標）已掌握在我們手中，能較清楚地看出路線的正確與否。後者對於數學的思考方式，是不是能給予我們深刻的提示呢？

所有成名的數學家，在它們的學習過程中，總會碰到許多挫折，由於他們對數學本身的興趣鍥而不捨的鑽研，才能使他們不因挫折而放棄數學。美國當代極具權威的名數學家馬克凱克（Mark Kac）有次在跟朋友玩牌時，出了錯，他的朋友生氣地說：「凱克！你怎麼那麼蠢？你在數學中不會發生這樣的錯誤吧！？」凱克笑道：「在數學中我幹的蠢事可多了，不過我沒發表罷了。」由此足見，他所以成名，是經過不少挫折失敗的，但他並沒有因此心灰意冷而改行，反而更堅強、勤奮。而大多數的學子並不想成為名數學家，但卻受制於考試時的區區十數道題目，考不好的原因「只不過」是沒有痛下苦功罷了！！

即使很優秀的學生，當他們得出問題的解答，清楚地寫下來之後，總是蓋好書本，馬上看別的事去，這種做法會使他們遺漏了這工作中重要而有益的一面：回顧整個答案，重新檢視答案與得出答案的途徑，是可以充實自己解題的知識，發展自己解題的能力。一個好教師應該懂得，而且使學生也懂得：沒有一個問題是一經解決就算是完全做完了。畢竟，學習數學的思考過程比算出的答案重要太多了！