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微積分究竟在說什麼？：老師從不會教你這些


內容簡介

這是一本最詳實的微積分學習入門書，讓微積分不再是莘莘學子求學路上的「危機分」

這是一本最直觀的微積分科普書，搭配圖表解析，讓微積分不再冷硬艱澀，高深莫測

這是一本最有趣的微積分故事書，帶你領略數學之美，體悟超越性的人生真理


12位理工博士誠摯推薦

王鎮城∕機電博士．李粵堅∕物理博士．林定鼎∕光電博士
林義平∕電機博士．林建憲∕工學博士．吳春淵∕機械博士
施江霖∕電機博士．郭靜娟∕醫學博士．張明文∕光學博士
賴茂富∕電機博士．齊紹栩∕電機博士．龔明覺∕電機博士


《微積分》究竟是在說什麼？它究竟又能做什麼？


這是絕大多數學理工商經管等科系的人應該要「問」而又「沒有問」的問題。

為什麼沒有問的原因，不外乎不知道該從何問起，所以讓我們一起從根本來談起。其實《微積分》真正的目的不是在教人們如何去微分？或是如何積分？

事實上在17世紀，牛頓爵士(Sir Isaac Newton，1643~1727) 和德國數學家萊布尼茲（Gottfried WilhelmLeibniz，1646~1716）是為了要思考在極限狀態下的世界，各種事物的「因」與「果」之間的關係而發明《微積分》


所以《微積分》事實上是一門處理與研究「瞬息萬變」的大學問。


本書以特殊而精準的圖解方式，詳盡而深入淺出的方式，為你解說《微積分》的究竟與道理，更重要的是，書中使用了大量的「典範範例」，對於相關的問題以實例做成典範，配合精準的圖解，使每一個函數都以特性曲線圖的方式展現出來，並在完成微分或積分之後，再用特性曲線圖的變化，對於它的原因及道理做成更進一步與更詳盡的解說與分析，活化學習思路，圖像化理解這個美麗的宇宙知識，擺脫教條式的背誦還有不明究理的定理，透過這樣的學習方式，學以致用，讓你在專業領域的運用得心應手，更甚至讓你在探究宇宙真理的路上，擁有了更清晰的方向與洞見。


本書九大特色

(1)本書不以傳統的教條方式教學。具有說清楚、講明白之特色

(2)本書具有特殊設計的「口語化」教學特色
(3)本書具有特殊設計的「生活化」之教學特色
(4)本書具有特殊設計之「精準化圖表」之教學特色
(5)本書具有特殊設計的「教人以智慧」之教學特色
(6)本書具有特殊設計的【典範範例】之教學特色
(7)本書具有特殊設計的【解析】之項目，具深入解析與分析之特色
(8)本書具有特殊設計的【研究與分析】之項目供深入研發之特色
(9)本書具有依程度與重要性而設計以「★」號作為代表之特色

作者簡介

張之嵐 

學歷
電機工程博士。


經歷
電子工程系主任。 
資訊工程系主任。 
教育部全國優良教師獎。
中華民國考試院典試委員。
經濟部中央標準局電子工程國家標準起草委員。
經濟部中央標準局資訊及通信國家標準起草委員。
台灣傑出發明家獎章。
美國Golden State 大學發明博士獎章。

目錄

第1章 緒 論 18
☆ 1.1 超越的思維 ........................................ 20
☆ 1.2 不要用計算來困住自己.................................. 23
☆ 1.3 數學小神童是真的嗎？.................................. 25
☆ 1.4 近代文明的基石 ........................................ 28
☆ 1.5 偉大的芝諾詭論(Paradoxes of Zeno ).................... 30
☆ 1.6 金字塔的神奇 ........................................ 32
☆ 1.7 工具的發明使人類進入超越的時代........................ 33
☆ 1.8 把數學口語化 ........................................ 34

第2章 數學是宇宙的真理 36
☆ 2.1 你還在土法煉鋼嗎？.................................... 38
☆ 2.2 數學是一種偉大的思維.................................. 40
☆ 2.3 在「答案」背後的意義...................................... 42
☆ 2.4 數學是美也是真理...................................... 43
☆ 2.5 數值在歷史上的迷思.................................... 45
☆ 2.6 病毒數學有驚人智慧.................................... 46
☆ 2.7 數學是代表宇宙的真理.................................. 48
☆ 2.8 數學之唯美 ........................................ 52
☆ 2.9 複數使宇宙變得偉大.................................... 54
☆ 2.10 世界上最美的方程式.................................... 56
☆ 2.11 如何解讀世界上最美的方程式............................ 57
☆ 2.12 思維的特質使人成為天才................................ 61

第3章 大自然的曼妙哲學與原理 64
☆ 3.1 脫離傳統的制度 ........................................ 66
☆ 3.2 只要懂得她就不會忘記她................................ 68
☆ 3.3 偉大的生命曲線 ........................................ 72
☆ 3.4 函數是一種因與果的對應關係............................ 75
☆ 3.5 明晰透徹的解悟 ........................................ 79
☆ 3.6 【典範範例】集錦....................................... 81
【★★★典範範例3-01】.................................. 81
【★★★典範範例3-02】.................................. 85
【★★★典範範例3-03】.................................. 88
【★★★典範範例3-04】.................................. 89
【★★★典範範例3-05】.................................. 91
【★★★典範範例3-06】.................................. 92
【★★★典範範例3-07】.................................. 94
【★★★★典範範例3-08】[ 研究與分析].................... 95

第4章 從微積分的思維說起 100
☆ 4.1 人們自古就喜歡算命................................... 102
☆ 4.2 微分是研究因果相應之道的大學問....................... 103
☆ 4.3 積分是研究「積因得果」之道........................... 106
☆ 4.4 微積分是一種研究「瞬息萬變」的大學問................. 110
☆ 4.5 不要把微分與導數弄混淆了............................. 113
☆ 4.6 為什麼積分是反微分呢？............................... 114
☆ 4.7 微分與積分在觀念上的精細解析......................... 116
【★★★問題與研究】................................... 118
☆ 4.8 直線的積分會是什麼？................................. 120
【★★★問題與研究】................................... 122
☆ 4.9 生命曲線的微分會是什麼？............................. 123
【★★★問題與研究】................................... 125

第5章 讓我們的思維飛到無窮遠的地方 130
☆ 5.1 人類因幻想而偉大..................................... 132
☆ 5.2 來到那「極限」的地方................................. 133
☆ 5.3 你知道1=2 的悖論嗎？................................. 135
☆ 5.4 極限(limits) 的問題與思維............................ 137
☆ 5.5 【典範範例】集錦...................................... 140
【★★★典範範例5-01】................................. 140
【★★★典範範例5-02】................................. 141
【★★★典範範例5-03】................................. 142
【★★★典範範例5-04】................................. 144
【★★★典範範例5-05】................................. 145
【★★★典範範例5-06】................................. 147
【★★★典範範例5-07】................................. 149
【★★★★典範範例5-08】 [ 研究與分析]................. 151
【★★★★典範範例5-09】 [ 研究與分析]................. 155

第6章 微分究竟想做什麼？ 158
☆ 6.1 讀書的學問之道 ....................................... 160
☆ 6.2 事情永遠都在變化..................................... 162
☆ 6.3 微分是求微量的因果之道............................... 164
☆ 6.4 進一步的談導數與微分................................. 166
☆ 6.5 微分就是研究瞬息變化的因果之道....................... 169
☆ 6.6 數學中的微分方法..................................... 170
☆ 6.7 對於微分的結果之解讀與學問之道....................... 171
☆ 6.8 【典範範例】集錦...................................... 177
【★★★典範範例6-01】................................. 177
【★★★典範範例6-02】................................. 180
【★★★★典範範例6-03】 [ 研究與分析]................. 182
【★★★★典範範例6-04】 [ 研究與分析]................. 185
【★★★★典範範例6-05】 [ 研究與分析]................. 188
【★★★★典範範例6-06】 [ 研究與分析]................. 192

第7章 奇特的三角函數微分 196
☆ 7.1 世界上最實用的科學................................... 198
☆ 7.2 基本三角函數的微分................................... 200
☆ 7.3 為什麼sin(x) 的微分是cos(x) 呢？..................... 201
☆ 7.4 為什麼cos(x) 的微分卻是-sin(x) 呢？.................. 205
☆ 7.5 綜合型三角函數的微分................................. 207
☆ 7.6 【典範範例】集錦...................................... 209
【★★★典範範例7-01】................................. 209
【★★★典範範例7-02】................................. 211
【★★★典範範例7-03】................................. 213
【★★★★典範範例7-04】[ 研究與分析]................... 215
【★★★★典範範例7-05】[ 研究與分析]................... 218
【★★★★典範範例7-06】[ 研究與分析]................... 221

第8章 為大自然說話的曲線 226
☆ 8.1 大自然的生命道理..................................... 228
☆ 8.2 用白話文講「指數」................................... 231
☆ 8.3 自然指數在數學上的定義............................... 232
☆ 8.4 指數運算定律 ....................................... 233
☆ 8.5 指數函數的特性曲線................................... 235
☆ 8.6 這個e=2.71828 是什麼意思？........................... 236
☆ 8.7 「對數」是什麼意思？................................. 238
☆ 8.8 用白話文講「對數」................................... 240
☆ 8.9 【典範範例】集錦...................................... 241
【★★★典範範例8-01】................................. 241
【★★★典範範例8-02】................................. 243
【★★★典範範例8-03】................................. 244
【★★★典範範例8-04】................................. 246
【★★★典範範例8-05】................................. 247
【★★★★典範範例8-06】 [ 研究與分析]................. 249
【★★★★典範範例8-07】 [ 研究與分析]................. 251
【★★★★典範範例8-08】 [ 研究與分析]................. 253
【★★★★典範範例8-09】 [ 研究與分析]................. 256
【★★★★典範範例8-10】 [ 研究與分析]................. 257

第9章 用白話文講指數與對數的微分 260
☆ 9.1 再用白話文講「指數」................................. 262
☆ 9.2 自然指數特性曲線圖的意義............................. 264
☆ 9.3 在指數運算上最常犯的一些錯誤......................... 266
☆ 9.4 指數的微分是一條打不死的龍........................... 267
☆ 9.5 指數微分與符號法則................................... 269
☆ 9.6 什麼是對數函數 ....................................... 270
☆ 9.7 如何口語化數學 ....................................... 271
☆ 9.8 口語化的「對數」函數................................. 272
☆ 9.9 奇妙的對數微分 ....................................... 277
☆ 9.10 【典範範例】集錦...................................... 279
【★★★典範範例9-01】[ 研究與分析]..................... 279
【★★★典範範例9-02】................................. 282
【★★★典範範例9-03】................................. 284
【★★★典範範例9-04】................................. 285
【★★★典範範例9-05】................................. 288
【★★★★典範範例9-06】[ 研究與分析]................... 290

第10章 積分究竟是什麼？ 294
☆ 10.1 積分的究竟思維 ....................................... 296
☆ 10.2 積分在數學上的意義................................... 298
☆ 10.3 積分有什麼用呢？..................................... 302
☆ 10.4 【典範範例-1】介於直線之間的面積..................... 305
☆ 10.5 【典範範例-2】介於曲線之間的面積..................... 310
☆ 10.6 積分的進階思維 ....................................... 313
☆ 10.7 多重積分的意義 ....................................... 316
☆ 10.8 常數的一次積分是什麼意思？........................... 319
☆ 10.9 常數連續兩次的積分是什麼意思？....................... 322
☆ 10.10 常數經過三次的積分有什麼意思？....................... 324
☆ 10.11 如何求兩曲線間的面積................................. 327
☆ 10.12 【典範範例】集錦...................................... 329
【★★★典範範例10-01】................................ 329
【★★★典範範例10-02】................................ 331
【★★★典範範例10-03】................................ 332
【★★★典範範例10-04】................................ 334
【★★★典範範例10-05】................................ 335
【★★★典範範例10-06】................................ 337

第11章 用白話文講對數與指數的積分 340
☆ 11-1 什麼是指數與自然指數................................. 342
☆ 11.2 指數的基本運算與積分................................. 343
☆ 11.3 還是一條不死的龍..................................... 344
☆ 11.4 口語化的指數與對數關係............................... 347
☆ 11.5 對數與指數的積分與特殊意義........................... 350
☆ 11.6 指數與對數的常用積分公式............................. 352
☆ 11.7 【典範範例】集錦...................................... 353
【★★★典範範例11-01】[ 研究與分析].................... 353
【★★★典範範例11-02】[ 研究與分析].................... 356
【★★★典範範例11-03】[ 研究與分析].................... 358
【★★★典範範例11-04】[ 研究與分析].................... 360
【★★★典範範例11-05】[ 研究與分析].................... 362
【★★★★典範範例11-06】[ 研究與分析].................. 364
【★★★★典範範例11-07】[ 研究與分析].................. 367
【★★★★典範範例11-08】[ 研究與分析].................. 369
【★★★★典範範例11-09】[ 研究與分析].................. 371
【★★★★典範範例11-10】[ 研究與分析].................. 373
【★★★★典範範例11-11】[ 研究與分析].................. 375

第12章 卓越的三角函數積分 378
☆ 12.1 三角學是大自然的祕密................................. 380
☆ 12.2 從天文到地理 ....................................... 381
☆ 12.3 三角函數的數值觀念................................... 382
☆ 12.4 熱門的手機是三角函數的產品........................... 384
☆ 12.5 三角函數的積分式..................................... 386
☆ 12.6 【典範範例】集錦...................................... 387
【★★★典範範例12-01】[ 研究與分析].................... 387
【★★★典範範例12-02】[ 研究與分析].................... 390
【★★★★典範範例12-03】[ 研究與分析].................. 393
【★★★★典範範例12-04】[ 研究與分析].................. 396
【★★★★典範範例12-05】[ 研究與分析].................. 400
【★★★★典範範例12-06】[ 研究與分析].................. 406
【★★★★典範範例12-07】[ 研究與分析].................. 409

第13章 特異的奇函數與偶函數 412
☆ 13.1 不可不知的函數對消作用............................... 414
☆ 13.2 奇函數的定義 ....................................... 415
☆ 13.3 sin 函數是奇函數還是偶函數？.......................... 416
☆ 13.4 偶函數的定義 ....................................... 417
☆ 13.5 由一半而推知另一半................................... 419
☆ 13.6 奇函數與偶函數的特異功能............................. 421
☆ 13.7 【典範範例】集錦...................................... 424
【★★★典範範例13-01】[ 研究與分析].................... 424
【★★★典範範例13-02】[ 研究與分析].................... 427
【★★★★典範範例13-03】[ 研究與分析].................. 429
【★★★★典範範例13-04】[ 研究與分析].................. 430
【★★★★典範範例13-05】[ 研究與分析].................. 433

第14章 高階的面積分與體積分 436
☆ 14.1 積分的進階思維 ....................................... 438
☆ 14.2 不規則平面面積之處理................................. 442
☆ 14.3 如何求兩曲線間的面積................................. 444
☆ 14.4 如何計算物體之體積................................... 446
☆ 14.5 圓盤法(circular-disk method)......................... 449
☆ 14.6 柱殼法(cylindrical shell method)..................... 453
☆ 14.7 【典範範例】集錦...................................... 456
【★★★典範範例14-01】................................ 456
【★★★典範範例14-02】................................ 457
【★★★典範範例14-03】................................ 459
【★★★典範範例14-04】................................ 461
【★★★典範範例14-05】................................ 463
【★★★典範範例14-06】................................ 465
【★★★典範範例14-07】................................ 467
【★★★典範範例14-08】................................ 469
【★★★★典範範例14-09】.............................. 471

第15章 進入虛幻世界 474
☆ 15.1 虛數就是「虛幻的數」嗎？............................. 476
☆ 15.2 在實數中無解的問題................................... 478
☆ 15.3 虛數讓任何「難題」都可以找到答案..................... 479
☆ 15.4 宇宙中最大的數系..................................... 481
☆ 15.5 複數平面的運算 ....................................... 483
☆ 15.6 複變數的微分 ....................................... 485
☆ 15.7 複變數的積分 ....................................... 486
☆ 15.8 【典範範例】集錦...................................... 487
【★★★典範範例15-01】................................ 487
【★★★典範範例15-02】................................ 487
【★★★典範範例15-03】................................ 488
【★★★典範範例15-04】................................ 489
【★★★★典範範例15-05】[ 研究與分析].................. 490
【★★★★典範範例15-06】[ 研究與分析].................. 491
【★★★★典範範例15-07】[ 研究與分析].................. 493